Kiểm định bội & Deflated Sharpe Ratio

Bộ tối ưu của bạn đã thử 50 biến thể của một mô hình opening drive trên NQ với hai năm lợi nhuận theo ngày. Biến thể thắng cuộc có Sharpe năm hóa 2.0, và một phép kiểm định tiêu chuẩn cho biết độ tin cậy rằng Sharpe thực của nó lớn hơn 0 là 99.7%. Con số 99.7% đó trả lời sai câu hỏi, vì nó coi biến thể thắng cuộc như thể là thứ duy nhất bạn đã thử. Khi tính đến 49 biến thể thua bị vứt đi, cùng backtest đó chỉ cho độ tin cậy khoảng 60% rằng edge là thật. Chỉ nhỉnh hơn tung đồng xu một chút, từ một kết quả tưởng như chắc chắn.

Sharpe ratio (tỷ số Sharpe) là lợi nhuận trung bình chia cho độ lệch chuẩn của lợi nhuận trong cùng kỳ. Deflated Sharpe Ratio (DSR, tỷ số Sharpe đã khử lạm phát), do Bailey & López de Prado (2014) giới thiệu trên Journal of Portfolio Management, là mức tin cậy (theo nghĩa thống kê tần suất, không phải xác suất hậu nghiệm) rằng Sharpe thực của chiến lược vượt mức mà riêng việc chọn lọc đã tạo ra, sau khi đã hiệu chỉnh hai thứ làm phình backtest: thiên lệch chọn lọc khi kiểm định bội (bạn chọn cái tốt nhất trong N) và lợi nhuận không phân phối chuẩn (độ lệch và đuôi dày làm ước lượng Sharpe kém tin cậy hơn).

Nhìn biểu đồ trước: cái tốt nhất trong N không bao giờ bằng 0

Hãy tưởng tượng N chiến lược đều có Sharpe thực đúng bằng 0. Sharpe ước lượng của chúng vẫn phân tán quanh 0 do nhiễu. Lấy giá trị lớn nhất thì nó sẽ dương, và càng lớn khi N tăng:

Cực đại kỳ vọng của N biến ngẫu nhiên chuẩn tắc (xấp xỉ dùng trong bài báo DSR)

 N      E[max]  (đơn vị: độ lệch chuẩn của Sharpe ước lượng giữa các lần thử)
 5      1.19   ████████████
 10     1.57   ████████████████
 20     1.90   ███████████████████
 50     2.28   ███████████████████████
 100    2.53   █████████████████████████
 1000   3.26   █████████████████████████████████

Vậy ngưỡng đúng cho câu hỏi “biến thể thắng cuộc có kỹ năng không?” không phải là 0, mà là SR₀: Sharpe mà bạn kỳ vọng biến thể tốt nhất trong N phép thử không có kỹ năng sẽ đạt được:

SR₀ = √V[SR̂ₙ] · ( (1 − γ) · Φ⁻¹(1 − 1/N)  +  γ · Φ⁻¹(1 − 1/(N·e)) )

• V[SR̂ₙ]: phương sai của các Sharpe ước lượng giữa N lần thử (đo từ chính nhật ký tối ưu của bạn);
• N: số lần thử độc lập (các biến thể tương quan với nhau được tính ít hơn; ước lượng N hiệu dụng cũng là một phần của phương pháp);
• Φ⁻¹: hàm ngược của hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc;
• γ ≈ 0.5772: hằng số Euler–Mascheroni; e ≈ 2.718.

Công thức này là một xấp xỉ, chính xác tốt khi N lớn. Với N = 2, nó cho kết quả hơi thấp hơn cực đại kỳ vọng thực; từ N ≈ 3 trở lên, nó hơi cao hơn (khoảng 0,01–0,03), tức là sai lệch theo hướng thận trọng.

Công thức DSR

DSR hỏi tiếp: Sharpe quan sát cao hơn SR₀ bao nhiêu sai số chuẩn, sau khi sai số chuẩn đã được điều chỉnh cho độ lệch và đuôi dày?

            ⎛  (SR̂ − SR₀) · √(T − 1)                ⎞
DSR  =  Φ  ⎜ ───────────────────────────────────── ⎟
            ⎝  √( 1 − γ̂₃·SR̂ + ((γ̂₄ − 1)/4)·SR̂² )  ⎠

• SR̂: Sharpe quan sát của chiến lược được chọn, theo kỳ (không năm hóa);
• T: số quan sát lợi nhuận;
• γ̂₃: skewness của lợi nhuận; γ̂₄: kurtosis thô (bằng 3 với phân phối chuẩn, khác với “excess kurtosis” bằng 0 mà nhiều phần mềm hiển thị);
• Φ: hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc, nên DSR là một xác suất nằm giữa 0 và 1.

Khi SR₀ = 0, công thức trở thành Probabilistic Sharpe Ratio (Bailey & López de Prado, Journal of Risk, 2012). Mẫu số chính là sai số chuẩn của Sharpe khi lợi nhuận không chuẩn. Với lợi nhuận chuẩn (γ̂₃ = 0, γ̂₄ = 3), nó rút gọn thành √(1 + SR̂²/2), kết quả quen thuộc của Lo (2002). Skew âm (nhiều lệnh thắng nhỏ, thỉnh thoảng thua lớn, điển hình của chiến lược bắt đảo chiều) làm mẫu số lớn hơn và DSR nhỏ hơn.

Ví dụ minh họa: khử lạm phát mô hình opening drive

Đầu vào lấy từ nhật ký nghiên cứu:

Bước 1: SR₀. Φ⁻¹(1 − 1/50) = Φ⁻¹(0.98) ≈ 2.054. Φ⁻¹(1 − 1/(50e)) = Φ⁻¹(0.99264) ≈ 2.440. E[max] ≈ (1 − 0.5772)(2.054) + 0.5772(2.440) ≈ 0.868 + 1.408 = 2.276. SR₀ = 0.05 × 2.276 ≈ 0.114 theo ngày (≈ 1.81 năm hóa). Biến thể tốt nhất trong 50 biến thể không có edge được kỳ vọng cho Sharpe năm hóa gần 1.8.

Bước 2: mẫu số. 1 − (−0.5)(0.126) + ((6 − 1)/4)(0.126²) = 1 + 0.063 + 0.020 = 1.083 → căn bậc hai ≈ 1.041.

Bước 3: DSR. z = (0.126 − 0.114) × √499 / 1.041 ≈ 0.0122 × 22.34 / 1.041 ≈ 0.26. Φ(0.26) ≈ 0.60.

So với phép thử chưa khử lạm phát (SR₀ = 0): z = 0.126 × 22.34 / 1.041 ≈ 2.70 → Φ ≈ 0.997. Cùng chiến lược, cùng dữ liệu. Khác biệt duy nhất là sự trung thực về N. Và hãy xem nó giảm nhanh thế nào:

Một cách đọc phổ biến là đòi hỏi DSR ≥ 0.95 trước khi tin một kết quả. Đó là quy ước, giống mức ý nghĩa 5%, chứ không phải định luật. Theo chuẩn đó, backtest này chưa phải bằng chứng. Hai năm dữ liệu không đủ để bảo vệ một cuộc tìm kiếm 50 biến thể. Bước tiếp theo là dữ liệu out-of-sample mới (M10.03) hoặc một lần test lockbox (M10.06).

Sai lầm thường gặp: Đưa Sharpe năm hóa vào công thức dùng số quan sát T theo ngày, hoặc dùng excess kurtosis ở chỗ công thức cần kurtosis thô. Với SR̂ năm hóa 2.0 và T = 500, √(T−1)·SR̂ sẽ là khoảng 45 sai số chuẩn: một kết quả “chắc chắn” sinh ra từ lỗi đơn vị. Giữ SR̂, SR₀ và V[SR̂ₙ] cùng đơn vị theo kỳ với T, và kiểm tra xem phần mềm của bạn báo kurtosis của phân phối chuẩn là 3 hay 0.

Tóm tắt:

• Biến thể tốt nhất trong N chiến lược không có kỹ năng vẫn có Sharpe kỳ vọng dương: SR₀ ≈ √V · ((1−γ)Φ⁻¹(1−1/N) + γΦ⁻¹(1−1/(Ne))), và nó tăng theo N.
• DSR = Φ( (SR̂ − SR₀)√(T−1) / √(1 − γ̂₃SR̂ + (γ̂₄−1)/4·SR̂²) ) là xác suất Sharpe thực dương sau khi đã hiệu chỉnh thiên lệch chọn lọc và tính không chuẩn.
• Skew âm và đuôi dày làm giảm DSR; thử nhiều hơn làm tăng SR₀ và giảm DSR; dữ liệu dài hơn (T lớn hơn) làm tăng DSR.
• Ghi lại mọi lần thử. Không có N và V[SR̂ₙ] trung thực thì không thể khử lạm phát được gì.

Câu hỏi: Một chiến lược có SR̂ theo kỳ = 0.10 trên T = 401 quan sát, lợi nhuận phân phối chuẩn (skew 0, kurtosis thô 3). Bạn chỉ thử đúng một biến thể đã đăng ký trước. DSR bằng bao nhiêu? Nếu thực ra bạn đã thử 100 biến thể với độ lệch chuẩn Sharpe giữa các lần thử là 0.05 thì sao? Đáp án: Với N = 1, SR₀ = 0. Mẫu số là √(1 + 0.01/2) ≈ 1.0025, z = 0.10 × 20 / 1.0025 ≈ 2.0, DSR ≈ 0.977. Với N = 100, SR₀ = 0.05 × 2.53 ≈ 0.127, lớn hơn SR̂, nên z ≈ (0.10 − 0.127) × 20 / 1.0025 ≈ −0.53 và DSR ≈ 0.30. Giải thích: cùng một Sharpe thì thuyết phục khi là một phép thử đã lên kế hoạch trước, nhưng không thuyết phục khi là người thắng của cuộc tìm kiếm 100 biến thể. Sức nặng của bằng chứng phụ thuộc vào quá trình tìm kiếm chứ không chỉ vào kết quả.

Đọc thêm:

• Bailey & López de Prado (2014), “The Deflated Sharpe Ratio: Correcting for Selection Bias, Backtest Overfitting and Non-Normality”, Journal of Portfolio Management 40(5), 94–107. DOI 10.3905/jpm.2014.40.5.094.
• Bailey & López de Prado (2012), “The Sharpe Ratio Efficient Frontier”, Journal of Risk 15(2). Giới thiệu Probabilistic Sharpe Ratio.
• Lo (2002), “The Statistics of Sharpe Ratios”, Financial Analysts Journal 58(4), 36–52. Sai số chuẩn, và vì sao năm hóa bằng √12 có thể gây hiểu lầm.

Kiến thức nền: M10.01 Vì sao phần lớn backtest nói dối, M10.03 In-sample/out-of-sample · Bài tiếp theo: M10.05 Xác suất quá khớp backtest (CSCV) · Liên quan: M7.10 (kiểm chứng phương pháp), M10.06 (kỷ luật lockbox)

Nội dung mang tính giáo dục — không phải lời khuyên tài chính. Giao dịch hợp đồng tương lai có rủi ro thua lỗ đáng kể.